Khi xác định một biến đổi tuyến tính, có thể có trường hợp từ phép chuyển cơ sở suy ra một dạng đơn giản hơn của phép biến đổi đó. Ví dụ, ma trận biểu diễn cho một phép quay trong ℝ3 khi trục quay không thẳng hàng với các trục tọa độ có thể quá phức tạp để tính toán. Nếu ta có hệ tọa độ sao cho trục quay thẳng hàng với trục z dương thì ma trận biến đổi của phép quay chỉ đơn giản là

S = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}} ,

với θ {\displaystyle \theta } là góc quay. Trong hệ tọa độ mới, phép biến đổi này có thể được viết dưới dạng

y ′ = S x ′ {\displaystyle y'=Sx'} ,

trong đó x' và y' tương ứng là các vectơ ban đầu và sau khi biến đổi trong cơ sở mới chứa một vectơ song song với trục quay. Còn trong cơ sở ban đầu phép biến đổi được viết dưới dạng

y = T x {\displaystyle y=Tx} ,

trong đó các vectơ x và y và ma trận biến đổi quay mà ta chưa biết T đều trong cơ sở ban đầu. Để viết T dưới dạng ma trận đơn giản hơn S {\displaystyle S} ta sử dụng ma trận chuyển cơ sở P biến đổi x và y thành x ′ = P x {\displaystyle x'=Px} và y ′ = P y {\displaystyle y'=Py} :

y ′ = S x ′ ⇒ P y = S P x ⇒ y = ( P − 1 S P ) x = T x {\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\&\Rightarrow &Py&=SPx\\&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}

Vì vậy ma trận biến đổi trong cơ sở ban đầu được cho bởi T = P − 1 S P {\displaystyle T=P^{-1}SP} . Ta tìm được phép biến đổi trong cơ sở ban đầu, đó là tích của ba ma trận có thể dễ dàng suy ra được. Thực ra, phép biến đổi đồng dạng hoạt động theo ba bước sau: đổi sang cơ sở mới (P), thực hiện phép biến đổi đơn giản trong đó (S), và chuyển lại về cơ sở ban đầu (P−1).